agonia english v3 |
Agonia.Net | Policy | Mission | Contact | Participate | ||||
Article Communities Contest Essay Multimedia Personals Poetry Press Prose _QUOTE Screenplay Special | ||||||
|
||||||
agonia Recommended Reading
■ No risks
Romanian Spell-Checker Contact |
- - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2010-11-14 | [This text should be read in romana] |
Dacă informația de pe Wikipedia e corectă,
enunÈ›ul "Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă aparÈ›ine nu lui Euclid, ci lui John Playfair, care a construit o axiomă echivalentă cu cea a lui Euclid. O posibilă demonstraÈ›ie a acestei axiome echivalente... PropoziÈ›ia lui Playfair trebuie demonstrată în două direcÈ›ii: I. printr-un punct exterior unei drepte trece cel mult o paralelă cu dreapta dată II. printr-un punct exterior unei drepte trece cel puÈ›in o paralelă cu dreapta dată Ne limităm a demonstra propoziÈ›ia I, deoarece propoziÈ›ia II este demonstrată în cartea "Matematică. Geometrie È™i trigonometrie. Manual pentru clasa a IX-a", Augustin CoÈ›a, Mariana RăduÈ›u, Marta Rado, Florica Vornicescu, Editura Didactică È™i Pedagogică, BucureÈ™ti, 1997, p. 33. I.1.DemonstraÈ›ie: Presupunem prin reducere la absurd că printr-un punct exterior unei drepte trec mai multe paralele cu dreapta dată. Fie d dreapta dată, M - punctul exterior dreptei È™i d1, d2, d3... dn, unde n>1, mai multe drepte care trec prin M È™i sunt paralele cu d. d//d1 d//d2 ... d//dn ------ de aici => d1//d2//d3...//dn(1) M є d1 M є d2 ... M є dn ----- de aici => d1∩d2∩d3...∩dn = {M}(2) Din (1) È™i (2) => contradicÈ›ie, presupunererea de la început e falsă =>propoziÈ›ia e demonstrată. DemonstraÈ›ia translaÈ›iei paralelismului 1. Fie d1, d2, d3 având relaÈ›ia d1//d2| d2//d3|=> d1//d3 în desen, d2 se află la mijloc, d1, d3 încadrează pe d2 în stânga È™i în dreapta acesteia Presupunem că d1 È™i d3 nu ar fi paralele, adică d1∩d3={M} Fie d o dreaptă care intersectează d1, d2, d3. d∩d1={N} d∩d3={P} MNP - triunghi M nu aparÈ›ine lui d2 trebuie să fie adevărată, (altfel d1 nu mai e paralelă cu d2 È™i d3 nu mai e paralelă cu d2), rezultă că d2 intersectează două laturi ale triunghiului MNP (o latură pe dreapta d È™i o latură pe dreapta d1 sau d3), adică e contradicÈ›ie,deoarece d1//d2 È™i d2//d3. De unde rezultă că presupunerea iniÈ›ială e falsă, adică d1//d3 e adevărată. 2. Fie d1, d2, d3 drepte date. d2//d1 È™i d2//d3. Vrem să demonstrăm că d1//d3. De data aceasta d1, d3 sunt de aceeaÈ™i parte, fie în dreapta, fie în stânga lui d2. Deoarece d1//d2 È™i d2//d3 înseamnă că perpendiculara care trece prin M de la d2 la d1 e aceeaÈ™i cu perpendiculara care trece prin M de la d2 la d3. Vom presupune că prin M trec două perpendiculare de la d2 la d1 È™i de la d2 la d3. M1єd2 astfel încât MM1 perpendiculară pe d3 M2єd2 astfel încât M2M perpendiculară pe d1 MM1 perpendiculară pe d3, rezultă că unghiul M1MO3 (O3 є d3)=90 grade (1) MM2 perpendiculară pe d1, rezultă că unghiul M2MO1(O1 є d1)=90 grade (2) Din (1) È™i (2) rezultă că unghiul M2MO1=unghiul M1MO3(3) Dar unghiul M2M01=unghiul M2MM1+unghiul O3MO1 (4) Din (3)È™i (4) rezultă contradicÈ›ie, deoarece unghiul M2MM1 diferit de zero,la fel È™i unghiul O3MO1. De aici rezultă că M1=M2. Refăcând desenul, acum rămâne numai M1 pe d2. unghiul M1MO1=90 grade unghiul M1MO3=90 grade Dar unghiul M1MO1= unghiul M1MO3 + unghiul O3MO1 (O3MO1 e diferit de zero), rezultă contradicÈ›ie, rezultă că d1∩d3=mulÈ›imea vidă, rezultă că d3//d1.
|
||||||||
Home of Literature, Poetry and Culture. Write and enjoy articles, essays, prose, classic poetry and contests. | |||||||||
Reproduction of any materials without our permission is strictly prohibited.
Copyright 1999-2003. Agonia.Net
E-mail | Privacy and publication policy